طريقة الخطأين

    عرفت هذه الطريقة بالخطأين لاستخراج المجهول، وهي من ابتكار أبي موسى الخوارزمي ، وقد شاعت طريقة الخطأين عند الرياضيين المسلمين لبساطتها، وأصبح يعول عليها كثيرا كأداة أساسية في التحليل العلمي والرياضي.
وتعتمد طريقة الخطأين على فرض أي قيمة لمجهول وتسميه "المفروض الأول"، ثم تتصرف فيه بحسب المسألة، فإن طابق فهو المطلوب، وإن لم يطابق وكان بالزيادة أو النقصان فهو "الخطأ الأول" ثم يفرض مجهولا آخر وهو "المفروض الثاني"، فإن طابق فهو المطلوب، وإن لم يطابق فهو "الخطأ الثاني".
ثم يضرب المفروض الأول في الخطأ الثاني ويكون الناتج "المحفوظ الأول". ويضرب المفروض الثاني في الخطأ الأول ويكون الناتج "المحفوظ الثاني".

 

فإن كان الخطآن زائدين أو ناقصين فاقسم الفرق بين المحفوظين على الفرق بين الخطأين، وإن اختلفا فمجموع المحفوظين على مجموع الخطأين ليخرج المجهول.
وقد افترض الخوارزمي قيمتين تخمينيتين هما (هـ1) و(هـ2). كما افترض أن الخطأ في كل من القيمتين هو (و1) و(و2).
فيكون
أهـ1 + ب = و1 (1)
أهـ2 + ب = و2 (2)
وبطرح (2) من (1) ينتج أن
أ(هـ1 - هـ2) = و1هـ2 (3)
وبضرب المعادلة (1) في هـ2 والمعادلة (2) في هـ1 ينتج أن:
أهـ1هـ2 + ب هـ2 = و1هـ2 (4)
أهـ1هـ2 + ب هـ1= و2هـ1 (5)
بطرح (5) من (4) يكون
ب(هـ2 - هـ1) = و1هـ2 - و2هـ1 (6)
وبقسمة (6) على (3) ينتج أن:
 

مثال: أوجد العدد الذي إذا أضيف إليه ثلثاه وثلاثة كان الناتج 18 طريقة الحل: ليكن المفروض الأول (3) وبالتعويض في المعادلة
3 + ( 3 * 3 / 2 ) + 3 = 8
ويكون الخطأ الأول هو 18 - 8 = 10
وليكن المفروض الثاني (6) وبالتعويض في المعادلة
6 + ( 6 * 3 / 2 ) + 3 = 13
ويكون الخطأ الثاني هو 18 - 13 = 5
والمحفوظ الأول = 3 * 5 = 15
والمحفوظ الثاني = 6 * 10 = 60
والفرق بين المحفوظين = 60 - 15 = 45
والفرق بين الخطأين = 10 - 5 = 5
الجواب: 5 / 45 = 9