تحليل حقيقي

التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية و الدوال المعرفة عليها . يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من علم الحسبان (التفاضل و التكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات و نهاياتها , الاستمرار في الدوال , الاشتقاق الرياضي , التكاملات الرياضية و اخيرا متتاليات الدوال . بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' , كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال المعممة generalized function .

عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة naive set theory أو elementary set theory , ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية , ثم مقدمة للأعداد الطبيعية و تقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction .

من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متسلسلات كاوشي Cauchy sequence و حد ديديكايند Dedekind cut للأعداد المنطقة rational number . النتائج البدئية تشتق أولا , اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value , مثل لامساواة المثلث triangle inequality و لامساواة برنولي Bernoulli's inequality .


مصطلح التقارب convergence يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي , فهو يقدم من خلال نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء , و بالتالي يمكن حساب عدة نهايات . كما يدرس هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series و هي عبارة عن نوع خاص م المتتاليات . من ثم تقدم متسلسلات القوى Power series القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل الدالة الأسية exponential function و الدوال المثلثية trigonometric function . من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل المجموعات المفتوحة open set و المجموعات المغلقة closed set , المجموعات المضغوطة compact sets أو compact space مع خواصها المختلفة مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem و مبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem .


 

مواضيع في التحليل الحقيقي
تقنيات أساسية
حد علوي أصغر ( least upper bound ) أو Supremum و حد سفلي أعظم (greatest lower bound) أو infimum |نهاية متتالية Limit of a sequence|مبرهنة التقارب أحادية النغمة Monotone convergence theorem|متتالية كاوشي Cauchy sequence|سوبر Limit superior and limit inferior|نهاية (رياضيات) (Limit (mathematics>كيفية حساب نهاية دالة حقيقية>Table of common limits|اهتزاز (رياضيات) Oscillation (mathematics)|متسلسلة غير منتهية Infinite series|متساسلة هندسية Geometric series|متسلسلة توافقية Harmonic series|متسلسلة بديلة Alternating series|سلاسل مرقابية Telescoping series |متسلسلة ثنائية Binomial series|جمع بالأجزاء Summation by parts|جداء غير محدود Infinite product|تقارب Convergence> ( تقارب إلى نقطة Pointwise convergence|اختبار التقارب التكاملي Integral test for convergence|تقارب متجانس Uniform convergence|مبرهنة أبيل Abel's theorem|متوسط سيزارو Cesro mean , جمع سيزارو Cesro summation )|مجال (رياضيات) Interval (mathematics|دعم Support|تلاشي في اللانهاية Vanish at infinity|ترميز Asymptotic notation|تحليل Asymptotic analysis|مستقيم الأعداد الحقيقية الممدد Extended real number line|تقسيم المجال Partition of an interval|مجموعة كانتور Cantor set و فضاء كانتور Cantor space|جبر سيغما Sigma-algebra
أسس
حد ديديكايند Dedekind cut
مبرهنات أساسية
مبرهنة القيمة المركزية Mean value theorem|مبرهنة القيمة الوسيطة Intermediate value theorem|فضاء اقليدي Euclidean space|مبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem|مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem
شروط الدوال الحقيقية
استمرار متجانس Uniform continuity|نصف استمرار Semi-continuity|Modulus of continuity|أحادي النغمة Monotonic|دالة محدبة Convex function>دالة محدبة ملائمة Proper convex function |دالة منبسطة Smooth function>الدالة القابلة للمكاملة بشكل غير متناه لا تكون تحليلية|استمرارية لايشتز Lipschitz continuity|استمرارية اللامكان Nowhere continuous>دالة ديرشيلت Dirichlet function>دالة داربوكس Darboux function|دالة فايرشتراس Weierstrass function|اسقاط تقلصي Contraction mapping|تابع تحليلي |دالة مكاملة Integrable function>قابل للتكامل مربع Square-integrable , دالة فابلة للمكاملة من الدرجة بي p-integrable function|تباين مقيد Bounded variation|سلم الشيطان Devil's staircase >تابع كانتور |Equicontinuous|Weakly harmonic
لامساويات
لامساواة برنولي Bernoulli's inequality|لامساواة المتوسطات الحسابية و الهندسية Inequality of arithmetic and geometric means >متوسط معمم Generalized mean|متوسط هندسي-توافقي Geometric-harmonic mean|متوسط توافقي Harmonic mean|متوسط موزون Weighted mean|متوسط-ف المعمم Generalised f-mean|متوسط هندسي حسابي Arithmetic geometric mean )|لامساواة كاوشي-شفارز Cauchy-Schwarz inequality|لامساواة المثلث Triangle inequality|لامساواة هولدر Hlder's inequality|لامساواة مينكوفسكي Minkowski inequality|لامساواة جينسن Jensen's inequality|لامساواة شيبيشيف Chebyshev's inequality
قياسات
نظرية القياس و تكامل ليبزيغ
حسبان متعدد المتغيرات Multivariable calculus
تكامل ريمان Riemann integral|المبرهنة الأساسية للتكامل Fundamental Theorem of Calculus|تكامل ريمان-شتيلتيز Riemann-Stieltjes integral|تكامل غير ملائم Improper integral|قيمة كاوشي المبدئية Cauchy principal value|تكامل داربوكس Darboux integral|دالة غاما Gamma function|منحني قابل للتصحيح Rectifiable curve|تكامل طرق Path integral|اعادة ترتيب أنيقة للتكاملات التكرارية المتقاربة بشروط |متسلسلة قوى Power series|مبرهنة انقلاب لاغرانج Lagrange inversion theorem|كثيرات حدود متعامدة Orthogonal polynomials|مشتق اتجاهي Directional derivative|مبرهنة النقطة الثابتة لباناخ Banach fixed point theorem|مبرهنة الدالة العكسية Inverse function theorem|مبرهنة الدالة الضمنية Implicit function theorem|سبميرجن Submersion|مضاعف لاغرانج Lagrange multiplier
توزيع
دالة خطوة هيفيسايد Heaviside step function|تحويل هلبرت Hilbert transform|دالة غرين Green's function
حسبان كسيري Fractional calculus
تكامل تفاضلي Differintegral
سلاسل فورييه , تحويل فورييه
كسيريات
مثلث سيربينسكي Sierpinski triangle|غبار كانتور Cantor dust|بساط سيربينسكي Sierpinski carpet|اسفنج مينغر Menger sponge

من أهم أقسام التحليل الحقيقي :

 

 

 

 

 

 

 

المصدر : من موقع ويكيبيديا - الموسوعة الحرة - http://ar.wikipedia.org